Funciones, sistemas y puntos¶
¿Qué es una Función?¶
En el mundo de la programación es normal encontrar funciones. Por lo general una función es una pauta o serie de instrucciones que toma una información inicial (entrada / input) y devuelve nueva información (salida / output). Esta función puede tomar variables, números, texto y devolver todo tipo de información o simplemente realizar una acción.
Sin embargo en las matemáticas una función sólo implica números. Toma unos números, se aplican unas reglas y se devuelve un nuevo número. Una de las formas para definir una función en las matemáticas es por ejemplo una tabla de paridad ordenada con las entradas y salidas de la función para sus valores. Por ejemplo supongamos que la función toma un número (x) y devuelve el doble de éste (y):
Tabla de paridad ordenada
Las tablas de paridad ordenadas son útiles, pero tienen muchas limitaciones debido a que para determinar una salida antes hay que describir todas las posibilidades anteriores.
La otra forma de definir una función es utilizar una fórmula o ecuación que relacione los dos números. Por ejemplo la tabla anterior se podría definir utilizando la ecuación y = 2x, donde x es la entrada e y es la salida. Esta es la manera cómoda y rápida, pues nos permite tomar cualquier entrada y determinar su salida sin describir todas las posibilidades, sólo sustituyendo el valor de x en la ecuación y resolviéndola.
Quizá ahora te estás preguntando qué tienen que ver las funciones con los videojuegos, pues mucho, porque precisamente se utilizan para poder “poner” cosas en la pantalla del ordenador. Siendo más específicos, cuando hablamos de poner, en realidad nos referimos a posicionar en la pantalla, pero para posicionar debemos seguir algunas reglas y aquí es dónde aparecen los sistemas de coordenadas.
El sistema de coordenadas¶
Este sistema de representación consiste en una rejilla formada por un eje-x horizontal y otro eje-y vertical. El primero representa la anchura y el segundo la altura. Gracias a este sistema los programadores de videojuegos pueden posicionar cualquier objeto sobre el plano 2D formado por el sistema simulando la pantalla del ordenador:
Eje de coordenadas cartesianas
Para hacerlo se utilizan los puntos.
¿Qué es un Punto?¶
Un punto es un objeto que indica un lugar particular en el sistema de coordenadas. La notación de un punto es P(x,y), donde P es el nombre del punto, x representa la coordenada horizontal e y su coordenada vertical.
El lugar donde se cruzan los ejes se conoce como el punto de origen y se corresponde con las coordenadas (0,0). A partir del origen el valor de las x es positivo a la derecha y negativo a la izquierda. Así como el valor de las y es positivo hacia arriba y negativo hacia abajo.
Representar los puntos es bastante fácil, sólo hay que ir contando las distancias y marcar el lugar donde se cruzan la proyecciones de los ejes:
Representación de algunas coordenadas en el sistema cartesiano
Gracias a este sistema se pueden utilizar funciones para mover los objetos alrededor de la pantalla a partir de sus coordenadas x e y. Sin embargo hay que diferenciar un punto importante antes de dar el tema por zanjado, y es que las pantallas no utilizan el sistema cartesiano para visualizar la información.
Coordenadas en la pantalla¶
La diferencia entre el sistema cartesiano y de la pantalla varía en el eje-y debido a que las pantallas están creadas para visualizar de arriba hacia abajo. Eso se traduce en que el eje de las y es positivo hacia abajo y negativo hacia arriba, o también que el origen se encuentra en la esquina superior izquierda, mientras que para el sistema cartesiano está en la esquina inferior izquierda, tal como muestra la siguiente figura:
¿En qué nos afecta ésto? Pues que si quieres crear tu motor de renderizado el último paso es convertir las coordenadas cartesianas en coordenadas de pantalla, pero ésto suele ser un proceso automático en muchas librerías y frameworks. Incluso hay entornos completos como GameMaker que utilizan directamente coordenadas de pantalla para ahorrarse este paso.
Representación de objetos 3D¶
Hemos estado hablando de cómo representar objetos en el plano pero... ¿qué hay de los objetos en tres dimensiones? ¿Cómo se representan?
En el caso de los videojuegos en 3D la cosa se complica un poco más, pero las bases son fundamentalmente las mismas. Lo que se hace es añadir un tercer eje-z al sistema de coordenadas para simular la profundidad:
Sistema cartesiano tridimensional
Por tanto se añade la nueva coordenada z y un punto en el espacio tridimensional se definirá P(x,y,z), siendo el origen el punto (0,0,0). Normalmente cuanto más cerca del usuario esté el punto la profundidad será más positiva (estará por encima) y cuanto más lejos será más negativa (estará por debajo).
Esta interpretación es ámpliamente utilizada en las matemáticas y también la utilizan la mayoría de programadores, además de ser un estándar OpenGL, pero no es la única. En la siguiente imagen vemos un ejemplo de representación de un punto:
Representación de un punto en el espacio 3D
Cómo veis es algo más complicado de intuir pero en esencia es lo mismo que las dos dimensiones, así que tiempo al tiempo.